巧消元，妙运算

• 摘要：解二元一次方程组的基本思想就是“消元”，把二元方程转化为一元方程，将未知数的个数由多化少，逐一解决。代入消元法和加减消元法是解二元一次方程组的基本方法。在解答与二元一次方程组有关的计算过程中，许多学生往往只生硬地套用两种基本方法，解题过程繁冗而准确率低。一些实际问题中，可以根据具体特点选择适当的方法，巧妙灵活地消元，求出二元一次方程组的解，促进运算的准确度和速度。
  关键词：消元，整体换元，等量转化，运算
  • 状况分析
  学生已完成代入消元法和加减消元法两种解二元一次方程组的基本方法，并会熟练解答一些简单的二元一次方程组。
  但当教师出示例1：解二元一次方程组 
   
  学生花了大量时间，解答情况如图表1：
  图表说明：
  A：不会解答；
  B：只会化简②式；
  C：能化简两式，但计算错误；
  D：通过大量化简，成功解题。
                                 图表1
  通过统计发现，大部分学生面对题目，没有经过观察、思考，就盲目地循着基本套路走。显然，由于前置知识的扎实程度、知识之间的应用迁移能力和有效计算能力等因素的影响，大部分学生难以胜任此类问题。
  根据课题组的研究，为提高学生计算能力，仅有两种基本方法不够，后面的教学需立足实验班学生的实际学习能力，适当地进行一些简便方法的补充，引导学生灵活、巧妙地消元，减少运算过程的障碍，以期快速、准确完成二元一次方程组的计算。
  • 方法拓展
  本次课题的实验班是平行班，学生普遍在小学升上初中时，数学学习基础薄弱，计算能力欠缺，计算出错率高，故本次补充的内容紧紧依托学生现有水平进行适度拓展。
  • 仔细观察，整体换元
  例1：解二元一次方程组 
  解：设，则原方程组可变形为
   
            解得     
  所以    
  得这个方程组的解为
  【方法分析】通过观察两个方程的特点，有共性：，用整体换元法解方程组可化繁为简，避开去分母、去括号、移项、合并同类项等整理方程的复杂程序，大量减少运算量，还可快速、精准地求出方程组的解，尤其减轻计算能力薄弱学生的心理负担，增强其自信运算，能学好数学的信心。
  • 善于比较，等量转化
  例2：解二元一次方程组 
  要解这道二元一次方程组，若先化简，再用代入消元法或加减消元法，则计算容量较大，特别是约公分母，往往是学生容易出错的高难区，学生感觉非常吃力。
  通过比较方程组中两个二元一次方程的结构，不难发现，把任意一个方程中的两个未知数互换位置，恰好得到另一个方程。不难验证，有。这时，可把方程组的求解转化为取原方程组中任意一个方程与联立的方程组，其解即为原方程组的解。
  解： 由题意可知，原方程组与以下方程组的解相同
  
  把②代入①，得
  把代入②，得
  得这个方程组的解为
  【方法分析】通过比较两个方程的结构，挖掘方程组中未知数的本质，其含有恒等量关系： ，运用等量转化法使问题的解决直观、有明晰的方向，方法灵活，激发学生积极参与运算问题的兴趣，潜移默化地帮助学生养成比较，转化的数学思考习惯。
  • 学习效果
  在课题组的精心研究下，补充了整体换元和等量转化的方法，使学生学会分析具体问题的特点，巧妙消元，高效解决问题。并以当堂检测检验学生的学习效果。
  【当堂检测】若方程组的解、满足，则的值是多少？
  通过限时训练，学生基本能自主解决，大致有以下的一些解法：
  【解法一】把k看作常数，运用基本的代入消元法或加减消元法，求出用含的代数式来表示和， ，，代入，即可求出k=6.
  【解法二】通过观察方程的共性，运用整体思想，直接把两式相减，并化简得：，因为，所以：，即可求出k=6.
  【解法三】因为和要同时满足和三个方程，故可以先组成方程组：解得：  ，再代入，即可求出k=6.
  通过统计，情况如图表2：
   
   
   
   
   
  图表2
  从图表明显地看到，通过方法拓展，精简了过程的运算，很大一部分畏惧计算的同学变得有信心，敢于动手，尝试巧妙方法并正确运算；大多数学生更倾向整体换元，因其整体性，有效化繁为简，使计算更快更精准，提高了他们的计算能力，同时渗透了整体思想，促进学生思维品质再上一个台阶。
  总之，在解决二元一次方程组相关问题时，要仔细观察，善于比较，灵活地选用恰当的的方法，精准快速地解决问题。特别是在某些特定的情况下，选用整体换元和等量转化的思想和方法，问题的解决更能起到事倍功半的效果。
   
发布日期：2020-07-27 11:40:01 浏览：