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摘要：几何画板是一款数学软件，能够演示动态变化过程，制图原理和尺规作图原理一致。借助几何画板可以启发学生突破问题重难点，帮助学生更好的理解动态问题过程 ，提高学生抽象思维能力.学生在借助画板制作几何图形过程，就是理解数学原理，知识应用、构建和创新思维形成的过程。借助几何画板能促进学生高阶思维的发展。
关键词：几何画板 新知学习 例题教学 画板绘图 高阶思维
中图分类号： G633.6 文献标识码：A
《数学课程标准（2011年版）》强调了“信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及教学方式产生了很大影响。”“把信息技术作为学生学习数学和解决问题的有力工具，使学生乐意并有可能投入到现实的、探索性的数学活动中去”。几何画板就是一款信息技术应用软件，借助画板学习增强学生的学习信心，提高学习兴趣和抽象思维能力。学生用几何画板绘制几何图形，提升数学知识的建构和应用能力，培养学生的应用意识和创新意识。这与我们提倡的发展学生高阶思维的目标不谋而合。本文试图通过几个例子加以叙述。
一、在新知教学中借助几何画板，启发学生猜想与思考，发展学生合情推理能力，促进高阶思维发展。
几何画板给学生提供了一个观察、猜想后一个实验验证的平台。它能“测量”线段长度、角度等几何量，为学生搭建了实验验证的技术平台，促进学生合情推理的能力和辩证思维的发展。
1.新知（如定理）形成前的猜想验证阶段：如笔者在2016年一师一优课活动中，执教了人教版八年级数学上册13.1.2线段的垂直平分线的性质这一节内容，开篇有一个探究需要学生经历测量很多线段的长度后发现结论。学生用尺子测量客观上是有明显误差，发现“垂直平分线的点与这条线段两端点的距离相等”的论断将信将疑，这时我用几何画板演示并让学生任意拖动垂直平分线上的点，大家发现确实无论点P移动在哪个位置，它到线段两端点距离相等。（见图1），这个环节借助几何画板的度量和动态功能，很好地完成了学生猜想验证的学习历程，发展了学生的合情推理能力，也为学生学习下一步的推理论证环节打下了心理认知基础和积极推动的作用。
图1
2.新知（如定理）辨析阶段：在新课教学过程中，有一个环节，就是对一个概念、公式或者定理进行条件辨析，以期学习者对其加深理解和正确应用。比如讲角的平分线的性质定理时，定理应用时需要强“两垂直一平分”的三个条件，很多时候都是老师“直接告知”或者“自问自答”“三个条件”。这时教师可以借助几何画板的演示来探究新知的应用条件，归纳要点，从而培养学生的思维逻辑的严密性。附用几何画板演示三种情况：①点P不在角平分线OC上②PD不垂直OA③PD、PE分别不垂直OA、OB(见图2）
图2
二、在例题、习题教学中借助几何画板，拓展练习题内涵，提高学生解决问题的能力，促进学生高阶思维发展。
例、习题是学生学习知识和习得基本技能的载体，能起到巩固知识，培养能力和发展思维等作用。特别是一些动态的问题，教师可以借助几何画板引导学生探究图形变化规律，启发学生对题目进行变式拓展，帮助学生理解问题的本质。促进学生高阶思维发展。
如人教版八年级下册数学教材25页例2：如图，一架长2.6米的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4米，如果梯子顶端A沿墙下滑0.5米，那么梯子底端B也外移0.5米吗？(因长度限制，将1米折算成5厘米，进行绘制动态图，如图3）
图3
很多学生读完题后第一感觉是梯子竖直下滑的距离（线段AC的长度）和水平移动的距离（线段BD的长度）是一样的，用几何画板可以实现梯子（图3中的线段AB和CD表示）移动，而且可以动态的度量AC和BD的长度，来观察验证梯子竖直和水平移动距离是否相等。演示发现AC=2.5厘米时，BD=3.6厘米，两者并不相等（如图3左边图），这样通过实验消除错觉，进一步引导学生如何求出BD长度，用几何画板将问题分解：当梯子没移动时（移动CD使与AB重合），如何求出未知量OB，这时只显示一个直角三角形，学生很快就知道直角边的长度。同样梯子下滑一定位置时，用画板暂时隐藏AB，学生又发现只有一个直角三角形，于是再次熟练地用勾股定理求出未知量OD，从而求出BD的长度。因此对于复杂的图形问题，可以用几何画板演示，将迷惑的问题清晰化，化繁为简，化抽象为具体。帮助学生理获得题的解题思路，优化解题思维。
借助几何画板对该例题进行变式拓展：
拓展一：在上述例题借助画板分析演示过程中，引导学生发现：梯子下滑距离先是比水平移动距离小，然后某一时刻相等，接着下滑距离先是比水平移动距离大。因此问题1：当梯子下滑多少时，AC=BD？ACBD？几何画板能展示运动过程各种情况的分界点，有利于培养学生分类讨论思想和严密的逻辑性，促进学生从形象思维到抽象思维迈进。
拓展二：教师可以在画板上新建一个梯子下滑图形，取云梯即线段CD中点M，请学生猜一猜，梯子下滑的过程中，中点M的轨迹是什么？然后用几何画板演示发现轨迹是一个1/4圆（见图4左图）。随着《平行四边形》这一章的学习知道“直角三角形斜边中线时斜边的一半”，再追问为什么是一个圆弧？在学生学习圆的第一节时，再出示此题和几何画板演示。教师平时注意如此拓展题并借助几何画板演示探究，学生高阶思维就潜移默化得到发展。这样，很多综合题目在日常训练的高阶思维的驱动下变得容易了，如2020年广东省中考题（这道压轴题考查直角三角形的性质、数学建模思想、最短距离问题等综合知识，考察了学生建模能力和解决问题的综合能力。）学生识破E点轨迹是一个1/4圆，结合圆外一点到圆上最短距离的基本知识（见图4右2右3图），就很快搞定此题，结果是。
图4
附2020年广东省中考题
17．有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时捕捉．把墙面、梯子、猫、老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如题17图，∠ABC=90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN=4，E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为_________________．
笔者认为，借助几何画板对例题、习题图形进行演示，发现规律，拓展外延，有利于提高学生探究能力和建模能力，从而发展学生的高阶思维。尤其在初三几何复习时，教师尽可能用好几何画板辅助教学，展示复杂的运动过程，揭示数学本质，丰富题目内涵，变式拓展，从而提高课堂效率，让学生学习从低效走向高效，让数学思维从低阶走向高阶。
三、在用几何画板如何绘制图形过程培养应用意识与创新思维，促进学生高阶思维发展。
几何画板的作图既有一些简单的菜单式操作，更多时候需要思考作图的几何原理，灵活应用定义定理才能构建出图形。所以借助几何画板构图过程就是个数学知识灵活应用的创新思维过程。我们以上述的垂直平分线和梯子下滑为例加以叙述几何画板制图的数学思维过程[1]。
1.制作线段的垂直平分线（见图1左图）。方法一、定义法。这时就要回忆定义的要素，中点和垂直。因此就有了制图思路：取线段AB中点，过中点做线段AB的垂线。方法二、判定法。到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。因此就有了新的思路：分别以A、B两点为圆心，以大于1/2AB长为半径作两圆，并交于两点，过这两点作直线。这也是我们课程标准要求掌握的五大基本尺规作图之一。
2.制作梯子下滑动态图（见图4左图）。思路：先绘制互相垂直的线段（垂足记为O）作为墙面，在两条线段上各取一个自由点（竖直线上的点为C点，水平线上的点为D点），再连成线段作为梯子，发现这个梯子长度随着两个动点的移动在不断变化。构图出现了困难，引导学生思考，如何保持两点在滑动的情况，又能保持梯子长度不变呢？那只能是一个点为从动点，另一个点为主动点，从动点因主动点运动而运动且能保持两点连线段长度不变，学生会想到这样长度不变的线段可以是动圆（等圆）的半径，主动点为圆心，梯子长度为半径作圆，此圆与水平线段交点即为从动点D。思路到此，整个梯子下滑动态图就可以实现了。附制作步骤：第一步，画出互相垂直的两条射线（实现的途径很多，每一种途径都是相关数学原理的再现）垂足为O点；第二步，在两条射线上各取一个动点A、B,并连接AB。以垂足O点为圆心，线段AB长度为半径画圆。交射线OA于E点，选择线段OE，在OE上取动点C（可以在线段OE上自由滑动，将来驱动云梯滑动的主动点），第三步，以自由点C为圆心，AB长为半径画圆，交射线OB于点D（云梯滑动的从动点）,连接CD。第四步，隐藏圆O和圆C,并制作点C的动画按钮。如果显示CD中点的运动轨迹，只需取CD中点并跟踪即可完成。（见图5）
图5
结语
本文通过新课学习，练习题讲解和几何图形制作几个案例，展示了几何画板在学生学习数学中思维推动作用。几何画板能够演示动态变化过程，具有精确度量，跟踪轨迹等多种实验功能，它的制图原理和尺规作图原理一致。借助几何画板可以启发学生突破问题重难点，帮助学生更好的理解动态问题过程 ，学生在制作几何图形过程，就是理解数学作图原理，知识应用、构建和创新思维形成的过程。总之，充分合理的利用几何画板能促进学生高阶思维的发展。
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关键词：几何画板 新知学习 例题教学 画板绘图 高阶思维
中图分类号： G633.6 文献标识码：A
《数学课程标准（2011年版）》强调了“信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及教学方式产生了很大影响。”“把信息技术作为学生学习数学和解决问题的有力工具，使学生乐意并有可能投入到现实的、探索性的数学活动中去”。几何画板就是一款信息技术应用软件，借助画板学习增强学生的学习信心，提高学习兴趣和抽象思维能力。学生用几何画板绘制几何图形，提升数学知识的建构和应用能力，培养学生的应用意识和创新意识。这与我们提倡的发展学生高阶思维的目标不谋而合。本文试图通过几个例子加以叙述。
一、在新知教学中借助几何画板，启发学生猜想与思考，发展学生合情推理能力，促进高阶思维发展。
几何画板给学生提供了一个观察、猜想后一个实验验证的平台。它能“测量”线段长度、角度等几何量，为学生搭建了实验验证的技术平台，促进学生合情推理的能力和辩证思维的发展。
1.新知（如定理）形成前的猜想验证阶段：如笔者在2016年一师一优课活动中，执教了人教版八年级数学上册13.1.2线段的垂直平分线的性质这一节内容，开篇有一个探究需要学生经历测量很多线段的长度后发现结论。学生用尺子测量客观上是有明显误差，发现“垂直平分线的点与这条线段两端点的距离相等”的论断将信将疑，这时我用几何画板演示并让学生任意拖动垂直平分线上的点，大家发现确实无论点P移动在哪个位置，它到线段两端点距离相等。（见图1），这个环节借助几何画板的度量和动态功能，很好地完成了学生猜想验证的学习历程，发展了学生的合情推理能力，也为学生学习下一步的推理论证环节打下了心理认知基础和积极推动的作用。
图1
2.新知（如定理）辨析阶段：在新课教学过程中，有一个环节，就是对一个概念、公式或者定理进行条件辨析，以期学习者对其加深理解和正确应用。比如讲角的平分线的性质定理时，定理应用时需要强“两垂直一平分”的三个条件，很多时候都是老师“直接告知”或者“自问自答”“三个条件”。这时教师可以借助几何画板的演示来探究新知的应用条件，归纳要点，从而培养学生的思维逻辑的严密性。附用几何画板演示三种情况：①点P不在角平分线OC上②PD不垂直OA③PD、PE分别不垂直OA、OB(见图2）
图2
二、在例题、习题教学中借助几何画板，拓展练习题内涵，提高学生解决问题的能力，促进学生高阶思维发展。
例、习题是学生学习知识和习得基本技能的载体，能起到巩固知识，培养能力和发展思维等作用。特别是一些动态的问题，教师可以借助几何画板引导学生探究图形变化规律，启发学生对题目进行变式拓展，帮助学生理解问题的本质。促进学生高阶思维发展。
如人教版八年级下册数学教材25页例2：如图，一架长2.6米的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4米，如果梯子顶端A沿墙下滑0.5米，那么梯子底端B也外移0.5米吗？(因长度限制，将1米折算成5厘米，进行绘制动态图，如图3）
图3
很多学生读完题后第一感觉是梯子竖直下滑的距离（线段AC的长度）和水平移动的距离（线段BD的长度）是一样的，用几何画板可以实现梯子（图3中的线段AB和CD表示）移动，而且可以动态的度量AC和BD的长度，来观察验证梯子竖直和水平移动距离是否相等。演示发现AC=2.5厘米时，BD=3.6厘米，两者并不相等（如图3左边图），这样通过实验消除错觉，进一步引导学生如何求出BD长度，用几何画板将问题分解：当梯子没移动时（移动CD使与AB重合），如何求出未知量OB，这时只显示一个直角三角形，学生很快就知道直角边的长度。同样梯子下滑一定位置时，用画板暂时隐藏AB，学生又发现只有一个直角三角形，于是再次熟练地用勾股定理求出未知量OD，从而求出BD的长度。因此对于复杂的图形问题，可以用几何画板演示，将迷惑的问题清晰化，化繁为简，化抽象为具体。帮助学生理获得题的解题思路，优化解题思维。
借助几何画板对该例题进行变式拓展：
拓展一：在上述例题借助画板分析演示过程中，引导学生发现：梯子下滑距离先是比水平移动距离小，然后某一时刻相等，接着下滑距离先是比水平移动距离大。因此问题1：当梯子下滑多少时，AC=BD？AC
拓展二：教师可以在画板上新建一个梯子下滑图形，取云梯即线段CD中点M，请学生猜一猜，梯子下滑的过程中，中点M的轨迹是什么？然后用几何画板演示发现轨迹是一个1/4圆（见图4左图）。随着《平行四边形》这一章的学习知道“直角三角形斜边中线时斜边的一半”，再追问为什么是一个圆弧？在学生学习圆的第一节时，再出示此题和几何画板演示。教师平时注意如此拓展题并借助几何画板演示探究，学生高阶思维就潜移默化得到发展。这样，很多综合题目在日常训练的高阶思维的驱动下变得容易了，如2020年广东省中考题（这道压轴题考查直角三角形的性质、数学建模思想、最短距离问题等综合知识，考察了学生建模能力和解决问题的综合能力。）学生识破E点轨迹是一个1/4圆，结合圆外一点到圆上最短距离的基本知识（见图4右2右3图），就很快搞定此题，结果是。
图4
附2020年广东省中考题
17．有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时捕捉．把墙面、梯子、猫、老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如题17图，∠ABC=90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN=4，E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为_________________．
笔者认为，借助几何画板对例题、习题图形进行演示，发现规律，拓展外延，有利于提高学生探究能力和建模能力，从而发展学生的高阶思维。尤其在初三几何复习时，教师尽可能用好几何画板辅助教学，展示复杂的运动过程，揭示数学本质，丰富题目内涵，变式拓展，从而提高课堂效率，让学生学习从低效走向高效，让数学思维从低阶走向高阶。
三、在用几何画板如何绘制图形过程培养应用意识与创新思维，促进学生高阶思维发展。
几何画板的作图既有一些简单的菜单式操作，更多时候需要思考作图的几何原理，灵活应用定义定理才能构建出图形。所以借助几何画板构图过程就是个数学知识灵活应用的创新思维过程。我们以上述的垂直平分线和梯子下滑为例加以叙述几何画板制图的数学思维过程[1]。
1.制作线段的垂直平分线（见图1左图）。方法一、定义法。这时就要回忆定义的要素，中点和垂直。因此就有了制图思路：取线段AB中点，过中点做线段AB的垂线。方法二、判定法。到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。因此就有了新的思路：分别以A、B两点为圆心，以大于1/2AB长为半径作两圆，并交于两点，过这两点作直线。这也是我们课程标准要求掌握的五大基本尺规作图之一。
2.制作梯子下滑动态图（见图4左图）。思路：先绘制互相垂直的线段（垂足记为O）作为墙面，在两条线段上各取一个自由点（竖直线上的点为C点，水平线上的点为D点），再连成线段作为梯子，发现这个梯子长度随着两个动点的移动在不断变化。构图出现了困难，引导学生思考，如何保持两点在滑动的情况，又能保持梯子长度不变呢？那只能是一个点为从动点，另一个点为主动点，从动点因主动点运动而运动且能保持两点连线段长度不变，学生会想到这样长度不变的线段可以是动圆（等圆）的半径，主动点为圆心，梯子长度为半径作圆，此圆与水平线段交点即为从动点D。思路到此，整个梯子下滑动态图就可以实现了。附制作步骤：第一步，画出互相垂直的两条射线（实现的途径很多，每一种途径都是相关数学原理的再现）垂足为O点；第二步，在两条射线上各取一个动点A、B,并连接AB。以垂足O点为圆心，线段AB长度为半径画圆。交射线OA于E点，选择线段OE，在OE上取动点C（可以在线段OE上自由滑动，将来驱动云梯滑动的主动点），第三步，以自由点C为圆心，AB长为半径画圆，交射线OB于点D（云梯滑动的从动点）,连接CD。第四步，隐藏圆O和圆C,并制作点C的动画按钮。如果显示CD中点的运动轨迹，只需取CD中点并跟踪即可完成。（见图5）
图5
结语
本文通过新课学习，练习题讲解和几何图形制作几个案例，展示了几何画板在学生学习数学中思维推动作用。几何画板能够演示动态变化过程，具有精确度量，跟踪轨迹等多种实验功能，它的制图原理和尺规作图原理一致。借助几何画板可以启发学生突破问题重难点，帮助学生更好的理解动态问题过程 ，学生在制作几何图形过程，就是理解数学作图原理，知识应用、构建和创新思维形成的过程。总之，充分合理的利用几何画板能促进学生高阶思维的发展。
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