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摘要： 圆的切线定理有性质定理和判定定理，这是近几年中考题中的热点题型之一。这类题是学生学习的难点，但也有规律可循。本文对如何解这类题进行了方法的归纳。
关键词：切线定理 应用 性质 判断
中图分类号： G634.6 文献标识码：A
圆的切线定理有性质定理和判定定理，它是初中几何的重要内容，也是近几年各省市中考题中的热点题型之一。它在基础题中考查学生对性质及判定的理解，在综合题中考查学生对性质、判定及圆的有关知识的综合运用，有利于培养学生的分析推理能力，提高学生的综合素质。这类题是学生学习的难点，但也有规律可循，下面我将对这个问题的常见题型进行归纳。 切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径。即：知切线，得垂直。 （2009年贵阳市）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D,∠C=20°,求∠CDA的度数。
解：（由知切线，得垂直）
连接OD
∵ CD是⊙O的切线
∴ OD⊥CD ∴∠ODC=90°
∵∠C=20° ∴∠DOC=70°
∵ ∠DOC是△OAD的一个外角
∴ ∠DOC=∠A+∠ADO=70°
∵ OA=OD ∴∠A=∠ADO ∴∠ADO=35°
∴∠CDA=90°+35°=125° 切线的判定定理 经过半径的外端，并且和半径垂直的直线是圆的切线。
1.直线与圆的公共点确定，则连半径，证垂直，得切线。
例2：如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD。求证：DC是⊙O的切线.
分析：如果直线与圆有一个公共点，则连接这点和圆心，证明直线垂直于经过这点的半径是重点；证明垂直时，可以证明三角形和直角三角形全等或相似，得出垂直；也可以用勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形，得出垂直；还可以用相等角的代换得出垂直。
证明：连结OD
∵OA=OD ∴∠OAD=∠ODA
∵AD∥OC ∴∠OAD=∠BOC，∠ODA=∠DOC
∴∠DOC=∠BOC OD=OB OC=OC
∴△ODC≌△OBC（SAS） ∴∠CDO=∠CBO
∵BC是⊙O的切线 ∴∠CBO=90° ∴∠CDO=90°
∴DC是⊙O的切线。
2.直线与圆的公共点不确定，则作垂线，证半径，得切线
例3：如图，已知△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于D。求证：AC与⊙O相切。
分析：已知条件没有告诉点E是否在圆上，所以证明切线的两个条件①OE是半径，
②OE⊥AC都不满足，这种题型应先作辅助线,使OE⊥AC，再证明OE是半径，就可得AC是切线。
证明：连接OD,过点O作OE⊥AC,垂足为点E
∵AB是⊙O的切线 ∴OD⊥AB ∴∠BDO=∠CEO=90°
∵△ABC是等腰三角形 ∴∠B=∠C
∵O是BC的中点 ∴BO=CO
∴△BOD≌△COE(AAS) ∴OD=OE
∴AC与⊙O相切
知识链接 例4：如图：AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线DC互相垂直，垂足为D，求证:AC平分∠DAB。
分析：由“知切线，得垂直”。
证明：连接OC，
∵CD是⊙O的切线
∴OC⊥CD
又∵CD⊥AD ∴OC∥AD ∴∠DAC=∠ACO
又∵OA=OC ∴∠CAO=∠ACO ∴∠DAC=∠CAO
即AC平分∠DAB。
变式1：如图：AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点,AD⊥CD,AC平分∠DAB，求证：CD是⊙O的切线。
分析：要证切线，则由“连半径，证垂直，得切线”。
先连半径OC,由AC平分∠DAB,OA=OC，
得∠DAC=∠ACO
∵AD⊥CD ∴∠DAC+∠DCA=90°∴∠ACO+∠DCA=90°
∴OC⊥CD ∴CD是⊙O的切线。
变式2：如图：AB是⊙O的直径，⊙O过BE的中点C，CD⊥AE。
求证：DC是⊙O的切线。
证明：连接AC，OC
∵AB为⊙O的直径 ∴AC⊥BE
又∵BC=EC ∴AE=AB ∴∠EAC=∠BAC
又∵OA=OC ∴∠BAC=∠ACO ∴∠EAC=∠ACO
∵CD⊥AE, ∴∠EAC+∠DCA=90°∴∠ACO+∠DCA=90°
∴DC⊥OC ∴DC是⊙O的切线。
以上是我对切线的性质和判定在常见题中如何应用的简单归纳，当你在做题中“山重水复疑无路”时，想一想这做题的规律，可能会使你“柳暗花明又一村”的。
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关键词：切线定理 应用 性质 判断
中图分类号： G634.6 文献标识码：A
圆的切线定理有性质定理和判定定理，它是初中几何的重要内容，也是近几年各省市中考题中的热点题型之一。它在基础题中考查学生对性质及判定的理解，在综合题中考查学生对性质、判定及圆的有关知识的综合运用，有利于培养学生的分析推理能力，提高学生的综合素质。这类题是学生学习的难点，但也有规律可循，下面我将对这个问题的常见题型进行归纳。 切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径。即：知切线，得垂直。 （2009年贵阳市）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D,∠C=20°,求∠CDA的度数。
解：（由知切线，得垂直）
连接OD
∵ CD是⊙O的切线
∴ OD⊥CD ∴∠ODC=90°
∵∠C=20° ∴∠DOC=70°
∵ ∠DOC是△OAD的一个外角
∴ ∠DOC=∠A+∠ADO=70°
∵ OA=OD ∴∠A=∠ADO ∴∠ADO=35°
∴∠CDA=90°+35°=125° 切线的判定定理 经过半径的外端，并且和半径垂直的直线是圆的切线。
1.直线与圆的公共点确定，则连半径，证垂直，得切线。
例2：如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD。求证：DC是⊙O的切线.
分析：如果直线与圆有一个公共点，则连接这点和圆心，证明直线垂直于经过这点的半径是重点；证明垂直时，可以证明三角形和直角三角形全等或相似，得出垂直；也可以用勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形，得出垂直；还可以用相等角的代换得出垂直。
证明：连结OD
∵OA=OD ∴∠OAD=∠ODA
∵AD∥OC ∴∠OAD=∠BOC，∠ODA=∠DOC
∴∠DOC=∠BOC OD=OB OC=OC
∴△ODC≌△OBC（SAS） ∴∠CDO=∠CBO
∵BC是⊙O的切线 ∴∠CBO=90° ∴∠CDO=90°
∴DC是⊙O的切线。
2.直线与圆的公共点不确定，则作垂线，证半径，得切线
例3：如图，已知△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于D。求证：AC与⊙O相切。
分析：已知条件没有告诉点E是否在圆上，所以证明切线的两个条件①OE是半径，
②OE⊥AC都不满足，这种题型应先作辅助线,使OE⊥AC，再证明OE是半径，就可得AC是切线。
证明：连接OD,过点O作OE⊥AC,垂足为点E
∵AB是⊙O的切线 ∴OD⊥AB ∴∠BDO=∠CEO=90°
∵△ABC是等腰三角形 ∴∠B=∠C
∵O是BC的中点 ∴BO=CO
∴△BOD≌△COE(AAS) ∴OD=OE
∴AC与⊙O相切
知识链接 例4：如图：AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线DC互相垂直，垂足为D，求证:AC平分∠DAB。
分析：由“知切线，得垂直”。
证明：连接OC，
∵CD是⊙O的切线
∴OC⊥CD
又∵CD⊥AD ∴OC∥AD ∴∠DAC=∠ACO
又∵OA=OC ∴∠CAO=∠ACO ∴∠DAC=∠CAO
即AC平分∠DAB。
变式1：如图：AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点,AD⊥CD,AC平分∠DAB，求证：CD是⊙O的切线。
分析：要证切线，则由“连半径，证垂直，得切线”。
先连半径OC,由AC平分∠DAB,OA=OC，
得∠DAC=∠ACO
∵AD⊥CD ∴∠DAC+∠DCA=90°∴∠ACO+∠DCA=90°
∴OC⊥CD ∴CD是⊙O的切线。
变式2：如图：AB是⊙O的直径，⊙O过BE的中点C，CD⊥AE。
求证：DC是⊙O的切线。
证明：连接AC，OC
∵AB为⊙O的直径 ∴AC⊥BE
又∵BC=EC ∴AE=AB ∴∠EAC=∠BAC
又∵OA=OC ∴∠BAC=∠ACO ∴∠EAC=∠ACO
∵CD⊥AE, ∴∠EAC+∠DCA=90°∴∠ACO+∠DCA=90°
∴DC⊥OC ∴DC是⊙O的切线。
以上是我对切线的性质和判定在常见题中如何应用的简单归纳，当你在做题中“山重水复疑无路”时，想一想这做题的规律，可能会使你“柳暗花明又一村”的。
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