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摘要：二次函数是函数的核心内容之一，不仅在初中阶段有着重要的地位和作用，也是高中数学学习的重要基础，尤其是二次函数的图像与性质，涉及面广，与方程、不等式等许多知识都有联系，是学生学习的一大难点。而二次函数系数是解决后续图像问题的基础，从中讨论各系数的作用及关系，不仅可以更深入地了解二次函数，也可以渗透数学学科素养，培育数学思想，培养学生自觉应用数学知识解决实际问题的意识和能力。
关键词：二次函数系数作用及关系 数学核心素养 数学思想 学习策略
中图分类号：G421 文献标识码：A
《数学课程标准》指出：通过义务教育阶段的数学学习，能培育学生包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析六个方面能力。[1]而二次函数作为函数核心内容之一，综合性强、知识涉及面广，与方程、不等式等许多知识都有联系。近年来，中考试卷中常作为压轴题出现，分值大，试题的灵活性和技巧性很强，学生得分普遍较低，尤其是二次函数图像及性质，很多学生学习这部分内容较抽象，难以理解，最终选择放弃二次函数的题。但二次函数学习中涉及的重要思想，会贯穿在整个函数的学习中，理解掌握这些数学思想，可以提高学生分析问题和解决问题的能力。[2]而二次函数的核心在于图像，作为二次函数图像的基础，各系数之间的关系及作用的学习就显得尤为重要。那么，怎样学习二次函数系数的作用及关系？ 笔者通过跟踪学生学习情况并和一线教师交流，结合自己的教学经验，提出如下想法：
一、学生对二次函数系数运用困难的成因分析
1.数形结合思想匮乏导致对二次函数特殊特征及最值和增减性理解不够透彻。
对函数图像的一些特征理解缺乏直观性，如：顶点，对称轴，对称性等，大部分只是对相关公式的单纯记忆，认为他们只是套公式做题，对于公式的来源和原理模糊不清。此外，教师教学过程中，也将重点放在计算和练习上，忽略了图像本身的直观性，导致学生对图像的探究失去兴趣和积极性。
例如：对于二次函数 y=-13x2+103x-163，下列说法正确的是 （ ）
A.开口向下，顶点坐标为（5，3） B.开口向上，顶点坐标为（5，3）
C.开口向下，顶点坐标为（-5，3） D.开口向上，顶点坐标为（-5，3）
这道题首先考虑判断开口的方向，再根据顶点公式套用来计算顶点坐标，从而选出正确答案。本质上是对二次函数图像和性质掌握不透彻，还有些学生没有数形结合意识，在平时教育教学中需要加强数形结合思想的渗透。[3]
2.缺乏沟通函数与方程、不等式之间的联系
如果掌握二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的相互转化，是函数学习最重要的一点，也就是把分散学习的知识有机联系起来，建构统一的数学知识网络，体会知识之间的辩证关系。
例如：二次函数的图像如图，若M=4a+2b+c，N=a+b+c，P=4a+b，则判断M,N,P的正负__________
解 析：依据x的取值可判断MN的正负，依据对称轴可判断P的值。
二、针对学生对二次函数系数运用困难的教学策略
1.优化学习环境，提高学习兴趣
兴趣是学生学习最好的老师，而要提升学生学习函数的兴趣，就要创造良好的数学学习环境，如教学环境和内部环境，学生心理状态等。
在二次函数教学过程中，一方面需要创设良好的外部环境，努力使教学内容和教学方式饱满，还需提升学生的主动注意力。可以利用几何画板或ZeGrapher(数学函数绘图软件)等多媒体技术辅助教学动态展示函数图像与系数之间的关系。例如，在讲解函数图像变换时如果只在黑板上画出函数图像，教师在演示时无法选择很多点,尤其在平移时，只能依靠学生的想象力，缺乏直观性。如果应用几何画板，就可以选择不同的参数，直观地表现出系数对函数图像的影响。
2.渗透类比迁移在函数教学中的应用
函数的研究方法是一致的，在学习二次函数之前，学生已经学习了一次函数和反比例函数。教师可以利用类比迁移的方法将一次函数的研究方法运用到二次函数的研究中。这样不仅可以让学生触类旁通，还可以提高学生的理解和应用能力。学生不仅可以学到知识，还可以掌握学习的方法，做到活学活用，[4]对其他各种形式的函数也可以触类旁通，真正做到授人以渔。
例如，在讲函数的图像时，可以回忆一次函数的作图方法,让学生利用描点法先自主做出二次函数图像，培养学生自主动手的能力，并体验二次函数图像与其余函数图像的区别和联系，从而更全面自主地理解系数之间的联系。[5]
3.注重数形结合思想方法的渗透
数学的学习离不开几何，数学家华罗庚说过，数缺形时少直观，形少数时难入微。图形可以直观地反映数之间的关系，如观察函数图像可以发现函数的性质。同时，数也可以更加精准地论述图像的性质，如顶点坐标、对称轴所在直线、图像和坐标轴的交点坐标、方程等都可以说明函数的一些性质。数学语言主要有符号语言、文字语言、图像语言三种形式。在二次函数图像与性质中，可以将这三种语言结合起来。如：根据关系式画出图像，根据图像写出函数解析式，根据所给条件画出符合条件的图像等。从而真正做到将数学思想贯穿在数学课堂中。
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关键词：二次函数系数作用及关系 数学核心素养 数学思想 学习策略
中图分类号：G421 文献标识码：A
《数学课程标准》指出：通过义务教育阶段的数学学习，能培育学生包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析六个方面能力。[1]而二次函数作为函数核心内容之一，综合性强、知识涉及面广，与方程、不等式等许多知识都有联系。近年来，中考试卷中常作为压轴题出现，分值大，试题的灵活性和技巧性很强，学生得分普遍较低，尤其是二次函数图像及性质，很多学生学习这部分内容较抽象，难以理解，最终选择放弃二次函数的题。但二次函数学习中涉及的重要思想，会贯穿在整个函数的学习中，理解掌握这些数学思想，可以提高学生分析问题和解决问题的能力。[2]而二次函数的核心在于图像，作为二次函数图像的基础，各系数之间的关系及作用的学习就显得尤为重要。那么，怎样学习二次函数系数的作用及关系？ 笔者通过跟踪学生学习情况并和一线教师交流，结合自己的教学经验，提出如下想法：
一、学生对二次函数系数运用困难的成因分析
1.数形结合思想匮乏导致对二次函数特殊特征及最值和增减性理解不够透彻。
对函数图像的一些特征理解缺乏直观性，如：顶点，对称轴，对称性等，大部分只是对相关公式的单纯记忆，认为他们只是套公式做题，对于公式的来源和原理模糊不清。此外，教师教学过程中，也将重点放在计算和练习上，忽略了图像本身的直观性，导致学生对图像的探究失去兴趣和积极性。
例如：对于二次函数 y=-13x2+103x-163，下列说法正确的是 （ ）
A.开口向下，顶点坐标为（5，3） B.开口向上，顶点坐标为（5，3）
C.开口向下，顶点坐标为（-5，3） D.开口向上，顶点坐标为（-5，3）
这道题首先考虑判断开口的方向，再根据顶点公式套用来计算顶点坐标，从而选出正确答案。本质上是对二次函数图像和性质掌握不透彻，还有些学生没有数形结合意识，在平时教育教学中需要加强数形结合思想的渗透。[3]
2.缺乏沟通函数与方程、不等式之间的联系
如果掌握二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的相互转化，是函数学习最重要的一点，也就是把分散学习的知识有机联系起来，建构统一的数学知识网络，体会知识之间的辩证关系。
例如：二次函数的图像如图，若M=4a+2b+c，N=a+b+c，P=4a+b，则判断M,N,P的正负__________
解 析：依据x的取值可判断MN的正负，依据对称轴可判断P的值。
二、针对学生对二次函数系数运用困难的教学策略
1.优化学习环境，提高学习兴趣
兴趣是学生学习最好的老师，而要提升学生学习函数的兴趣，就要创造良好的数学学习环境，如教学环境和内部环境，学生心理状态等。
在二次函数教学过程中，一方面需要创设良好的外部环境，努力使教学内容和教学方式饱满，还需提升学生的主动注意力。可以利用几何画板或ZeGrapher(数学函数绘图软件)等多媒体技术辅助教学动态展示函数图像与系数之间的关系。例如，在讲解函数图像变换时如果只在黑板上画出函数图像，教师在演示时无法选择很多点,尤其在平移时，只能依靠学生的想象力，缺乏直观性。如果应用几何画板，就可以选择不同的参数，直观地表现出系数对函数图像的影响。
2.渗透类比迁移在函数教学中的应用
函数的研究方法是一致的，在学习二次函数之前，学生已经学习了一次函数和反比例函数。教师可以利用类比迁移的方法将一次函数的研究方法运用到二次函数的研究中。这样不仅可以让学生触类旁通，还可以提高学生的理解和应用能力。学生不仅可以学到知识，还可以掌握学习的方法，做到活学活用，[4]对其他各种形式的函数也可以触类旁通，真正做到授人以渔。
例如，在讲函数的图像时，可以回忆一次函数的作图方法,让学生利用描点法先自主做出二次函数图像，培养学生自主动手的能力，并体验二次函数图像与其余函数图像的区别和联系，从而更全面自主地理解系数之间的联系。[5]
3.注重数形结合思想方法的渗透
数学的学习离不开几何，数学家华罗庚说过，数缺形时少直观，形少数时难入微。图形可以直观地反映数之间的关系，如观察函数图像可以发现函数的性质。同时，数也可以更加精准地论述图像的性质，如顶点坐标、对称轴所在直线、图像和坐标轴的交点坐标、方程等都可以说明函数的一些性质。数学语言主要有符号语言、文字语言、图像语言三种形式。在二次函数图像与性质中，可以将这三种语言结合起来。如：根据关系式画出图像，根据图像写出函数解析式，根据所给条件画出符合条件的图像等。从而真正做到将数学思想贯穿在数学课堂中。
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