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摘要：文中笔者由几道错误率极高的“植树问题”练习引发思考，通过分析学生原有知识状况、教材例题编排意图、一线教师教学方法等，探究教学中存在的问题。笔者结合自己的教学经验，从教学起点、建立模型、判断辨析等方面探讨了数学教学与问题解决的途径，并提出了相应的对策，以期激活学生思维，感知数学思想，探索数学奥秘，促进学生有效构建数学模型，培养学生透过现象看到本质的能力。
关键词：思维起点 数学模型 解决问题
中图分类号：G623.5 文献标识码:A
一、缘起
五年级上册《数学广角》的内容是“植树问题”，课堂上笔者搜集了几道“植树问题”的拓展练习让孩子们尝试解决。
1.小明从1楼到4楼要12分钟，他用同样的速度从1楼到10楼要多少分钟？
2.时钟4时敲4下，6秒敲完。9时敲9下，需要多少秒？
3.将长5米的木料，按30厘米和20厘米一段的长度交替截下来，每截一次8分钟，全部截完要几分钟？
当堂统计中，三题的错误率分别为37% 、42% 、68% 。看到这样的结果，笔者十二分困惑。回想起课堂上，学生已经借助线段图理清了“植树问题”的三种类型，对三种情况的棵数与间隔数之间的数量关系，他们也能对答如流。可当呈现同样具有点与段（棵数与间隔数）关系的实际问题时，比如爬楼梯、敲钟、锯木头问题等等，学生就难以用数学的眼光去除现实情境的外衣，对具体问题中的点、段关系进行区分进而正确解答。
二、分析
1.学情分析
早在三、四年级的时候，我们的配套练习中偶尔可见“植树问题”的身影，如：一根木头锯4次，锯成了几段？又如：6个小朋友排队做操，每两个小朋友相隔1米，这排队伍有多长？当时的孩子根本没有棵数、间隔数等的具体概念，更加没有三类模型的建立，但是大部分的孩子可以借助画图的方法解答出来。看来学生在“植树问题”的学习方面并非“零起点”，学生学习“植树问题”是有一定经验和基础的，这个经验和基础就是我们展开教学的立足点。
2.教材分析
人教版教材安排了三个例题，例1是一条线段上两端都种的类型，例2是两端都不种的类型，只种一端的类型则是安排在例2的“做一做”中，例3则是封闭路线中的植树问题。基于这样的编排，老师们有将例1和例2合并教学，突出数学思想方法，构建植树问题的数学模型；老师们也有将三个例题独立进行教学，基于例1的教学初步感知棵数与间隔数之间的一一对应关系。然而，任何一种教学思路都应引导学生构建三种不同的数量关系模型，并运用数量关系解决实际问题。
3.教法分析
笔者阅读了一些教学参考，根据众多教学案例我们可以把“植树问题”的教学过程简单概括为：“找规律-----构建数学模型-----应用数学模型”。据了解，身边的老师们基本也是按照这三个步骤进行“植树问题”教学的。他们和笔者有相同的困惑，课堂上孩子们对三种类型的数量关系都是清晰的，把树替换成电线杆、灯笼等相似情境时，学生的解答情况还是可以的，可一旦是爬楼梯、敲钟、锯木头、列队等问题，难度一下子就提升了好几级，错误率直线上升，多次讲解也不奏效。
三、思考
1.重教材轻学情
基于对教材的分析，老师们在课堂上运用数形结合和“一一对应”的方法理解棵数与间隔数之间的关系，将植树问题作为全新的知识去引导学生学习理解，完成模型构建，这样的建构更多是基于教材的“教”和老师的“教”。
我们发现，植树的基本要素即“间隔数”，本质上是除法中包含除意义的一种生活现实，属于“一个数里有几个几”的问题，这些问题的商就是所要求的，植树问题的三种情况是由于植树的位置与间隔线的端点对应，从而导致不同的情况。在过去的用除法解决问题时，一般已知总长求段数，不涉及端点数。因而，学生缺乏这类知识的经验积累。
2.重方法轻思想
“数学广角”的内容更大程度上是一种渗透数学思想的载体。为了达到教学目的，一些教师常忽视“植树问题”的根本作用是渗透数学思想方法，他们往往只限于教材的三个例题，引导学生逐一总结公式，并改变问题情境来训练解决问题，这导致学生对三种计算方法的机械应用，更制约了学生思维的发展。
许多学生学习过程中缺乏毅力和克服困难的勇气，懒于动脑思考，缺乏学习的主动性，在解决实际问题时，他们不愿意思考分析题意，而是不假思索地套用公式，长此以往导致缺乏灵活应用的能力。
3.重训练轻辨析
在建立植树问题的三类模型后，老师们往往急于让学生解答生活中的植树问题，容易出现机械化的教学现象。试举一例。
师：这道题属于哪种类型？（两端都种/两端都不种/只种一端）
师：大家同意吗？（同意）
这种只管“对上号”的教学，与训练小猫小狗的条件反射没有多少本质区别，更与解决问题的价值取向背道而驰。教者只注重知识和技能的训练，没有实现模型结构化，学生不能举一反三也就在所难免。
四、对策
针对实际教学中存在的问题，笔者认为可以进行如下尝试。
1.把握起点，扎根植树问题的 “土壤”
出示学生编写的两个数学问题：
（1）一本笔记本2元，小明带了8元，能买几本？
（2）一小队有8人，每组2人，可以分几组？
师：讲的事情不一样，为什么都能用“8÷2=4”来解决？
生：都是求8里面有几个2，所以都用除法解决。
课件出示：
师：我们在二年级的时候就会解决这样的问题。
以上教学片段将植树问题纳入用除法解决问题这一范畴，与以前所学的包含除建立联系，让学生明白两者具有相同的数学模型。学生编的两个问题，在应用除法意义所求的都相当于“间隔数”，求出的商直接作为问题的答案，用线段图来表征就是： 。因此，学生学习“植树问题”的关键就是要建立起与除法意义的联系，而不是去记忆“棵数”和“间隔数”的各种数量关系。“植树问题”之所以可以依托“用除法解决问题”展开教学，就是因为我们掌握了新旧知识之间的联系， “植树”有了适宜的“土壤”，更容易调动学生的学习积极性。
学习起点是有效课堂的基础，是提高课堂教学效果的根本。只有真正了解学生、研读教材，直面学生的原始知识状况，找准学生的思维起点组织课堂教学，才能使学生有信心去探索，才能引导学习走向更深层次。只有真正体验知识形成的过程，学生才能获得可持续的发展。
2.自主探究，经历数学建模的过程
（1）通过“非植树的问题”初步感知模型
出示：
（1）小朋友排成一条8米长的队伍，每隔2米站一人，共要站几人？
（2）一根木头8米长，每段2米，要锯几次？
师：这两个问题都能用除法解决吗？他们的答案都是4吗？
验证老师编的问题（1）
请一列小朋友示范
问：最后一个小朋友为什么不用站了？
生：第一个小朋友和第二个小朋友隔2米……已经隔了4个2米，排满了，所以不用站。
请一生将图摆到黑板上，边摆边说
师：我们发现，站的人数要比这个商4大1。
验证老师编的问题（2）
用教具摆一摆并说一说：每隔2米锯一次，只需要锯3次，尾巴是不需要锯的。
师边指段边引导学生说：2米、2米、2米、2米，二四得八米。
师：我们发现只要锯3次，比这个商4少1。
对比师生编的问题
师：老师编的两个问题和你们编的有什么不同？
生1：这些题目的数字相同，结果不同。
生2：锯木头最后一端是不用锯的可以直接完成，而站小朋友是两端都要站的，所以要多1人。
生3：老师编的都是多1个或少1个，而我们编的都是刚刚好是4。
……
师: 买了几支笔，能分几组，就是线段图上的“4段”，所以他的商就是结果。小朋友站的位置，锯刀锯的位置，都是在线段图的哪里？（一个个的点上）所以我们要根据实际情况做出判断，有时候要+1，有时候要-1。
“植树问题”其实是具有相同数学模型的一类问题，一般来说，生活中的植树是两端都种，由于受到生活经验和思维等方面的限制，学生不容易想到植树的其他几种情况。现实生活中的许多问题都是“植树问题”的原型，如“排队”“锯木头”等，学生对这些有着丰富的认知和经验，很容易建立起“锯的次数与木头段数”以及“小朋友个数与间隔数”之间的数量关系。教者一改传统的教学路径，把“排队”“锯木头”问题放到“植树问题”例题前面，根据已有的经验，学生很快得出结论：“排队”应该是“商+1”，“锯木头”应该是“商-1”。
通过将“排队”“锯木头”问题与学生编写的数学问题进行比较，学生感到解决这些问题用的方法是相同的，只是得数不一样，进而体会到今天研究的数学问题就是在原来“包含除”的基础上将结果进行处理而已，接着出示例题的“植树问题”，学生自然会联想到“植树问题”可能有三种不同的情况。这样的处理方式，较好地实现了生活与数学的对接，既能激活学生的思维，又能有效引导学生进一步探索和发现。
（2）通过“植树的问题”逐步建构模型
出示：在一条20米长的路的一边种树，每5米种一棵树，共种几棵？
师：猜猜是几棵？
学生尝试画图、列式、汇报交流不同的种法
师：为什么这端不种？可能是什么情况？生活中有这样的情况吗？
课件整理三种不同的种法
师：分别和黑板上的哪种情况相似？
生：第一种方法和“排队”相同，都是两端都有：商+1。第二种方法和“锯木头”相同，都是两端都没有：商-1。第三种方法和普通除法问题相同，只有一端有：商不变。
实际教学中，我们会发现本节课的难点太多：概念多（段长、段数、棵数、总长等）、公式多（总长÷段长=段数、棵树=段数、棵树=段数+1、棵数=段数-1等）、模型识别难（只种一端、两端都种、两端都不种等）。在教学中，教者自始至终没有强加给学生段长、段数、棵数、总长等概念，也没有让学生机械地记忆公式，而是让学生借助老师帮忙搭建的脚手架自行探究，在画一画、列一列、说一说的学习活动中，建构知识结构。
通过对比发现，第一种方法和“排队”问题拥有相同的结构模型，第二种方法和“锯木头”问题拥有相同的结构模型，第三种种法和普通除法问题拥有相同的结构模型。没有丝毫的牵强和生搬硬套，植树问题的三类模型呼之欲出，问题模型的数学本质不言而喻，知识的生成和展开完全是学生自己体验和感悟出来的，而不是强加给他们的。
3. 判断归类，体现解决问题的价值
师：我们讨论了“排队”“锯木头”、植树，像这样的情况你们在生活中看到过吗？属于哪种类型？
生：教室话筒摆放、空调叶子排列、课桌摆放……
课件出示“两端都有”图片
小结：路灯、公交车站、楼层、人等都放在线段的每个点上，这就是我们说的“两端都有”。
课件出示“只有一端”图片
小结：千纸鹤、服务站等放在线段的点上，但其中一端不用放，这种情况叫“只有一端”。
课件出示“两端都没有”图片
小结：障碍墩、锯木头等情况两端都不放，就叫“两端都没有”。
单纯的模型记忆向来不是解决问题追求的目标，更重要的是从本质上对模型进行理解和辨析。教师引导学生在生活中找到更多具有“植树”数学结构的问题，深入感悟不同情境中“点与段数”的关系，再借助课件对学生判别过的情境一一用线段图加以呈现，适时地进行了抽象和内化。只有成功地沟通新旧知识之间的联系，正确判断不同的生活情境对应的模型，解答自然就正确了。
著名特级教师曹培英老师说过：“对于数学学科来说，实际情境只是数学问题的一个载体，教学数学的目的就是要引导学生用数学的目光去超越情境，抽象出数学问题、数学模型，以适应广泛应用的需要。”“植树问题”是具有“点、段”关系的实际问题的总称，“植树”只是众多同类情境中的一个典型实例，是举一反三的“一”。无独有偶，人教版四年级下册“数学广角”的“鸡兔同笼”，以“鸡兔同笼”为载体建立模型，进而运用模型解决“已知两个事物的两个总数”的实际问题，也是一个“找规律——构建数学模型——应用数学模型”的典型课例。
我们只有把问题扎根于学生的知识经验和认知基础，让学生亲历过程、积累经验，在启发、唤醒、补充、完善中完成知识构建，在慢节奏中感悟真相，根深才能叶茂。
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关键词：思维起点 数学模型 解决问题
中图分类号：G623.5 文献标识码:A
一、缘起
五年级上册《数学广角》的内容是“植树问题”，课堂上笔者搜集了几道“植树问题”的拓展练习让孩子们尝试解决。
1.小明从1楼到4楼要12分钟，他用同样的速度从1楼到10楼要多少分钟？
2.时钟4时敲4下，6秒敲完。9时敲9下，需要多少秒？
3.将长5米的木料，按30厘米和20厘米一段的长度交替截下来，每截一次8分钟，全部截完要几分钟？
当堂统计中，三题的错误率分别为37% 、42% 、68% 。看到这样的结果，笔者十二分困惑。回想起课堂上，学生已经借助线段图理清了“植树问题”的三种类型，对三种情况的棵数与间隔数之间的数量关系，他们也能对答如流。可当呈现同样具有点与段（棵数与间隔数）关系的实际问题时，比如爬楼梯、敲钟、锯木头问题等等，学生就难以用数学的眼光去除现实情境的外衣，对具体问题中的点、段关系进行区分进而正确解答。
二、分析
1.学情分析
早在三、四年级的时候，我们的配套练习中偶尔可见“植树问题”的身影，如：一根木头锯4次，锯成了几段？又如：6个小朋友排队做操，每两个小朋友相隔1米，这排队伍有多长？当时的孩子根本没有棵数、间隔数等的具体概念，更加没有三类模型的建立，但是大部分的孩子可以借助画图的方法解答出来。看来学生在“植树问题”的学习方面并非“零起点”，学生学习“植树问题”是有一定经验和基础的，这个经验和基础就是我们展开教学的立足点。
2.教材分析
人教版教材安排了三个例题，例1是一条线段上两端都种的类型，例2是两端都不种的类型，只种一端的类型则是安排在例2的“做一做”中，例3则是封闭路线中的植树问题。基于这样的编排，老师们有将例1和例2合并教学，突出数学思想方法，构建植树问题的数学模型；老师们也有将三个例题独立进行教学，基于例1的教学初步感知棵数与间隔数之间的一一对应关系。然而，任何一种教学思路都应引导学生构建三种不同的数量关系模型，并运用数量关系解决实际问题。
3.教法分析
笔者阅读了一些教学参考，根据众多教学案例我们可以把“植树问题”的教学过程简单概括为：“找规律-----构建数学模型-----应用数学模型”。据了解，身边的老师们基本也是按照这三个步骤进行“植树问题”教学的。他们和笔者有相同的困惑，课堂上孩子们对三种类型的数量关系都是清晰的，把树替换成电线杆、灯笼等相似情境时，学生的解答情况还是可以的，可一旦是爬楼梯、敲钟、锯木头、列队等问题，难度一下子就提升了好几级，错误率直线上升，多次讲解也不奏效。
三、思考
1.重教材轻学情
基于对教材的分析，老师们在课堂上运用数形结合和“一一对应”的方法理解棵数与间隔数之间的关系，将植树问题作为全新的知识去引导学生学习理解，完成模型构建，这样的建构更多是基于教材的“教”和老师的“教”。
我们发现，植树的基本要素即“间隔数”，本质上是除法中包含除意义的一种生活现实，属于“一个数里有几个几”的问题，这些问题的商就是所要求的，植树问题的三种情况是由于植树的位置与间隔线的端点对应，从而导致不同的情况。在过去的用除法解决问题时，一般已知总长求段数，不涉及端点数。因而，学生缺乏这类知识的经验积累。
2.重方法轻思想
“数学广角”的内容更大程度上是一种渗透数学思想的载体。为了达到教学目的，一些教师常忽视“植树问题”的根本作用是渗透数学思想方法，他们往往只限于教材的三个例题，引导学生逐一总结公式，并改变问题情境来训练解决问题，这导致学生对三种计算方法的机械应用，更制约了学生思维的发展。
许多学生学习过程中缺乏毅力和克服困难的勇气，懒于动脑思考，缺乏学习的主动性，在解决实际问题时，他们不愿意思考分析题意，而是不假思索地套用公式，长此以往导致缺乏灵活应用的能力。
3.重训练轻辨析
在建立植树问题的三类模型后，老师们往往急于让学生解答生活中的植树问题，容易出现机械化的教学现象。试举一例。
师：这道题属于哪种类型？（两端都种/两端都不种/只种一端）
师：大家同意吗？（同意）
这种只管“对上号”的教学，与训练小猫小狗的条件反射没有多少本质区别，更与解决问题的价值取向背道而驰。教者只注重知识和技能的训练，没有实现模型结构化，学生不能举一反三也就在所难免。
四、对策
针对实际教学中存在的问题，笔者认为可以进行如下尝试。
1.把握起点，扎根植树问题的 “土壤”
出示学生编写的两个数学问题：
（1）一本笔记本2元，小明带了8元，能买几本？
（2）一小队有8人，每组2人，可以分几组？
师：讲的事情不一样，为什么都能用“8÷2=4”来解决？
生：都是求8里面有几个2，所以都用除法解决。
课件出示：
师：我们在二年级的时候就会解决这样的问题。
以上教学片段将植树问题纳入用除法解决问题这一范畴，与以前所学的包含除建立联系，让学生明白两者具有相同的数学模型。学生编的两个问题，在应用除法意义所求的都相当于“间隔数”，求出的商直接作为问题的答案，用线段图来表征就是： 。因此，学生学习“植树问题”的关键就是要建立起与除法意义的联系，而不是去记忆“棵数”和“间隔数”的各种数量关系。“植树问题”之所以可以依托“用除法解决问题”展开教学，就是因为我们掌握了新旧知识之间的联系， “植树”有了适宜的“土壤”，更容易调动学生的学习积极性。
学习起点是有效课堂的基础，是提高课堂教学效果的根本。只有真正了解学生、研读教材，直面学生的原始知识状况，找准学生的思维起点组织课堂教学，才能使学生有信心去探索，才能引导学习走向更深层次。只有真正体验知识形成的过程，学生才能获得可持续的发展。
2.自主探究，经历数学建模的过程
（1）通过“非植树的问题”初步感知模型
出示：
（1）小朋友排成一条8米长的队伍，每隔2米站一人，共要站几人？
（2）一根木头8米长，每段2米，要锯几次？
师：这两个问题都能用除法解决吗？他们的答案都是4吗？
验证老师编的问题（1）
请一列小朋友示范
问：最后一个小朋友为什么不用站了？
生：第一个小朋友和第二个小朋友隔2米……已经隔了4个2米，排满了，所以不用站。
请一生将图摆到黑板上，边摆边说
师：我们发现，站的人数要比这个商4大1。
验证老师编的问题（2）
用教具摆一摆并说一说：每隔2米锯一次，只需要锯3次，尾巴是不需要锯的。
师边指段边引导学生说：2米、2米、2米、2米，二四得八米。
师：我们发现只要锯3次，比这个商4少1。
对比师生编的问题
师：老师编的两个问题和你们编的有什么不同？
生1：这些题目的数字相同，结果不同。
生2：锯木头最后一端是不用锯的可以直接完成，而站小朋友是两端都要站的，所以要多1人。
生3：老师编的都是多1个或少1个，而我们编的都是刚刚好是4。
……
师: 买了几支笔，能分几组，就是线段图上的“4段”，所以他的商就是结果。小朋友站的位置，锯刀锯的位置，都是在线段图的哪里？（一个个的点上）所以我们要根据实际情况做出判断，有时候要+1，有时候要-1。
“植树问题”其实是具有相同数学模型的一类问题，一般来说，生活中的植树是两端都种，由于受到生活经验和思维等方面的限制，学生不容易想到植树的其他几种情况。现实生活中的许多问题都是“植树问题”的原型，如“排队”“锯木头”等，学生对这些有着丰富的认知和经验，很容易建立起“锯的次数与木头段数”以及“小朋友个数与间隔数”之间的数量关系。教者一改传统的教学路径，把“排队”“锯木头”问题放到“植树问题”例题前面，根据已有的经验，学生很快得出结论：“排队”应该是“商+1”，“锯木头”应该是“商-1”。
通过将“排队”“锯木头”问题与学生编写的数学问题进行比较，学生感到解决这些问题用的方法是相同的，只是得数不一样，进而体会到今天研究的数学问题就是在原来“包含除”的基础上将结果进行处理而已，接着出示例题的“植树问题”，学生自然会联想到“植树问题”可能有三种不同的情况。这样的处理方式，较好地实现了生活与数学的对接，既能激活学生的思维，又能有效引导学生进一步探索和发现。
（2）通过“植树的问题”逐步建构模型
出示：在一条20米长的路的一边种树，每5米种一棵树，共种几棵？
师：猜猜是几棵？
学生尝试画图、列式、汇报交流不同的种法
师：为什么这端不种？可能是什么情况？生活中有这样的情况吗？
课件整理三种不同的种法
师：分别和黑板上的哪种情况相似？
生：第一种方法和“排队”相同，都是两端都有：商+1。第二种方法和“锯木头”相同，都是两端都没有：商-1。第三种方法和普通除法问题相同，只有一端有：商不变。
实际教学中，我们会发现本节课的难点太多：概念多（段长、段数、棵数、总长等）、公式多（总长÷段长=段数、棵树=段数、棵树=段数+1、棵数=段数-1等）、模型识别难（只种一端、两端都种、两端都不种等）。在教学中，教者自始至终没有强加给学生段长、段数、棵数、总长等概念，也没有让学生机械地记忆公式，而是让学生借助老师帮忙搭建的脚手架自行探究，在画一画、列一列、说一说的学习活动中，建构知识结构。
通过对比发现，第一种方法和“排队”问题拥有相同的结构模型，第二种方法和“锯木头”问题拥有相同的结构模型，第三种种法和普通除法问题拥有相同的结构模型。没有丝毫的牵强和生搬硬套，植树问题的三类模型呼之欲出，问题模型的数学本质不言而喻，知识的生成和展开完全是学生自己体验和感悟出来的，而不是强加给他们的。
3. 判断归类，体现解决问题的价值
师：我们讨论了“排队”“锯木头”、植树，像这样的情况你们在生活中看到过吗？属于哪种类型？
生：教室话筒摆放、空调叶子排列、课桌摆放……
课件出示“两端都有”图片
小结：路灯、公交车站、楼层、人等都放在线段的每个点上，这就是我们说的“两端都有”。
课件出示“只有一端”图片
小结：千纸鹤、服务站等放在线段的点上，但其中一端不用放，这种情况叫“只有一端”。
课件出示“两端都没有”图片
小结：障碍墩、锯木头等情况两端都不放，就叫“两端都没有”。
单纯的模型记忆向来不是解决问题追求的目标，更重要的是从本质上对模型进行理解和辨析。教师引导学生在生活中找到更多具有“植树”数学结构的问题，深入感悟不同情境中“点与段数”的关系，再借助课件对学生判别过的情境一一用线段图加以呈现，适时地进行了抽象和内化。只有成功地沟通新旧知识之间的联系，正确判断不同的生活情境对应的模型，解答自然就正确了。
著名特级教师曹培英老师说过：“对于数学学科来说，实际情境只是数学问题的一个载体，教学数学的目的就是要引导学生用数学的目光去超越情境，抽象出数学问题、数学模型，以适应广泛应用的需要。”“植树问题”是具有“点、段”关系的实际问题的总称，“植树”只是众多同类情境中的一个典型实例，是举一反三的“一”。无独有偶，人教版四年级下册“数学广角”的“鸡兔同笼”，以“鸡兔同笼”为载体建立模型，进而运用模型解决“已知两个事物的两个总数”的实际问题，也是一个“找规律——构建数学模型——应用数学模型”的典型课例。
我们只有把问题扎根于学生的知识经验和认知基础，让学生亲历过程、积累经验，在启发、唤醒、补充、完善中完成知识构建，在慢节奏中感悟真相，根深才能叶茂。
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